¿Quién teme al lobo?

Los músicos de cuerda frotada, especialmente los chelistas, son conscientes de un fenómeno acústico inoportuno conocido como el tono del lobo. Cualquier chelista ha sufrido en algún momento el ataque del lobo mientras interpretaba con su instrumento. Este interesante fenómeno, que involucra varios conceptos y fenómenos acústicos, se genera como resultado de un acoplamiento por medio del puente entre dos sistemas resonantes: la cuerda y el cuerpo. El tono del lobo puede explicarse en términos de osciladores acoplados e impedancia, pero también aplicando el concepto del mínimo de fuerza del arco requerida sobre la cuerda. El lobo, no obstante, puede ser domesticado de alguna forma y sus efectos ser minimizados o inhibidos.

En condiciones normales de funcionamiento, cuando el músico frota la cuerda del instrumento con el arco, suministra energía al sistema en una frecuencia particular, determinada por la longitud de la cuerda, que a su vez depende de la digitación aplicada por el músico. Una proporción de esta energía en forma de onda mecánica se transfiere por el puente, mientras que el resto es reflejada. Los ondas reflejadas son interferidas por nuevas ondas inyectadas por el músico, lo que da lugar a un patrón de vibración definido con onda estacionaria. Este patrón está caracterizado por presentar zonas de máxima vibración (vientres) y zonas de cero vibración (nodos), en función de la fase con la cual se han interferido. En el caso de interferencias en fase, la vibración subsiguiente experimenta un máximo de desplazamiento (vientres), mientras que si se encuentra en desfase de 180º, el desplazamiento resultante es nulo (nodos). Por su parte, la energía transferida por el puente alcanza el cuerpo del instrumento, el cual es excitado en una de sus frecuencias de resonancia. Nótese que el cuerpo del instrumento dispone de varias frecuencias de resonancia o armónicos, ya que además de la frecuencia de resonancia del volumen de aire contenido en él, la tapa y el fondo disponen de un juego considerable de resonancias con sus respectivos armónicos. Una vez que una de estas resonancias es excitada en su frecuencia natural, se produce un acople de energía entre uno de los armónicos de la cuerda y uno de los armónicos del cuerpo del instrumento, lo que da lugar a la resonancia del cuerpo y el subsiguiente sonido complejo que percibimos con un timbre, una intensidad, una altura, una duración, etc. Cuantos más armónicos estén presentes en la vibración y más relacionados armónicamente se hallen, más calidad tendrá el sonido producido. Esto es, los armónicos constitutivos de ese sonido complejo deben ajustarse lo máximo al patrón de frecuencia de la serie armónica, y por tanto sus relaciones de frecuencia deben ser los más exactas posibles.

Ahora bien, bajo ciertas condiciones este funcionamiento acústico puede sufrir ciertos accidentes y el resultado esperado verse contaminado por una suerte de sonido indeseable cuya frecuencia y amplitud varía ligeramente de forma periódica. Hablamos de la nota del lobo. Este fenómeno es el resultado de una disfunción acústica que da lugar a un sonido fluctuante en frecuencia e intensidad –con pulsaciones que oscilan en un rango de entre 5 y 10 Hz-. Sobreviene cuando la frecuencia de oscilación de la cuerda coincide o se aproxima a la frecuencia principal de resonancia del cuerpo -aquella en las que el todo el cuerpo vibra-. Como resultado de este acoplamiento, el músico pierde el control del tono momentáneamente, lo que puede afectar seriamente a la interpretación en curso. La frecuencia a la que el tono del lobo se excita varía entre un instrumento y otro. En este sentido, la frecuencia de la resonancia principal del cuerpo determina la región en la cual el lobo puede generarse.

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Fig. 1 Espectrograma del tono del lobo en un violonchelo (Fa2, a 174,5 Hz)

En la generación del tono del lobo coexisten varios factores a través de los cuales es posible caracterizarlo: el movimiento Helmholtz de las cuerdas, el mínimo de fuerza del arco requerido sobre la cuerda, la resonancia del cuerpo y del aire incluido, la oscilación acoplada entre dos sistemas resonantes -la cuerda y el cuerpo-, las pulsaciones y la impedancia como una función de transferencia de la energía o la fuerza.

Así mismo, el mecanismo de generación del tono del lobo puede formularse aplicando un modelo lineal, pero también mediante una aproximación no lineal. Un sistema lineal puede entenderse como aquel en el que la respuesta del sistema es proporcional al excitador o al estímulo. En una cuerda, la respuesta es lineal cuando la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento. La vibración resultante de estos sistemas es armónica, y pueden expresarse por tanto como un movimiento armónico simple. En este caso, para la solución de la ecuación diferencial lineal es suficiente con aplicar el principio de superposición, combinando las soluciones simples de cada sistema o simplemente sumando las dos respuestas. Sin embargo, en las vibraciones de sistemas no lineales -tales como la interacción del arco con la cuerda- el resultado no es un movimiento armónico simple, sino complejo, en el cual no es posible aplicar el principio de superposición para la solución de la ecuación. En este caso, la respuesta del sistema no es proporcional al estímulo o excitador, de forma que si se dobla la fuerza, por ejemplo, la respuesta no es el doble.

El sonido en los instrumentos musicales depende básicamente de la vibración de un cuerpo en frecuencias estables. Estas vibraciones dependen de tres factores: el desplazamiento, la fuerza restauradora -entendida como algún mecanismo que trabaje en oposición al desplazamiento- y la inercia. Esta fuerza restauradora viene dada en los instrumentos musicales por la elasticidad o la resistencia de los materiales vibrantes. La vibración transversal de la cuerda tensada sujeta en sus dos extremos constituye el más simple ejemplo de un sistema vibratorio resonante que dispone de una serie infinita de modos de vibración con sus frecuencias naturales correspondientes. Estas frecuencias se obtienen relacionando la longitud de onda con la velocidad de la onda y son dependientes de la longitud, la masa y la tensión de las cuerdas. Estos modos de vibración responden a un patrón definido por un particular movimiento de las cuerdas, conocido como stick–slip -adherencia-deslizamiento-. Efectivamente, si observamos el movimiento de una cuerda tensada que vibra, ésta parece moverse hacia atrás y adelante en una forma de parábola. Sin embargo, en la práctica la forma de onda es más compleja. El científico Hermann von Helmholtz fue el primero en formular matemáticamente el comportamiento de una cuerda al ser frotada por un arco. Mediante un microscopio de vibración propuesto por Lissajous, observó que cuando la cuerda se frota se forman dos líneas rectas con una curva en el punto de intersección, en lugar de la forma sinusoidal normal, dando lugar a un movimiento en V que es conocido como movimiento Helmholtz. La acción del arco sobre la cuerda se describe como una acción stick-slip. El arco se adhiere a la cuerda moviéndose en la misma dirección -lo que constituye el factor desplazamiento- mientras el vértice o pulso de onda viaja al extremo derecho describiendo un patrón parabólico, se refleja y regresa -fase stick-. En esta fase la cuerda se mueve a la velocidad de arco. Cuando llega la perturbación al punto de contacto con el arco, se desencadena la acción deslizamiento de la cuerda -factor fuerza recuperadora-, y el pulso de onda viaja ahora al extremo izquierdo, hasta que la cuerda pasa por su punto de equilibrio y llega a su máximo de amplitud -factor inercia-. En esta segunda fase -slip-, la velocidad relativa es igual a la velocidad del arco dividida por –β, donde β es la distancia del arco desde el puente dividida por la longitud de la cuerda vibrante. En ese punto, de nuevo la cuerda es sujetada por las cerdas y se inicia un nuevo ciclo stick–slip. De esta forma, la curva se compone de dos parábolas con una amplitud máxima que es proporcional, dentro de los límites, a la velocidad del arco.

Para estudiar el fenómeno del tono del lobo, puede aplicarse una formulación linearizada analizando el acople en el domino del tiempo entre dos sistemas resonantes – las cuerdas y el cuerpo- que da lugar a dos frecuencias, una por cada sistema. Cuando la resonancia principal del cuerpo se excita, se requiere más energía de la cuerda de la que el propio arco puede suministrar. Cuando el músico frota la cuerda con el arco en o cerca de la frecuencia de la resonancia principal del cuerpo el movimiento Helmholtz se establece y la energía en esa frecuencia fluye por medio del puente al cuerpo. Cuando el cuerpo ya no puede almacenar más energía, se produce una retroalimentación de energía en las cuerdas por parte de la vibración fuerte del cuerpo, interrumpiendo la acción del arco sobre la cuerda y cancelando por tanto su vibración momentáneamente. Seguidamente el arco, que todavía se está moviendo, vuelve a activar la vibración de la cuerda. Si las dos resonancias son muy activas, resulta prácticamente imposible para el músico suministrar la suficiente energía con el arco para mantener la energía de los dos sistemas, produciéndose un tono pulsante o pulsaciones mientras las resonancias de ambos sistemas se alternan. Como resultado de esta interacción entre la frecuencia de oscilación de la cuerda y la de la resonancia principal del cuerpo, el músico pierde el control del instrumento eventualmente.

Por consiguiente, desde el punto de vista del modelo lineal este fenómeno puede explicarse en términos de sistemas acoplados y pulsaciones. En rigor, se trata de la interacción de dos frecuencias que están producidas por el mismo excitador aunque una proviene de la cuerda y otra del cuerpo del instrumento.

Como resultado de esta oscilación acoplada entre dos frecuencias de resonancia, la frecuencia fundamental del oscilador conductor se divide en dos frecuencias, una ligeramente por encima y otra ligeramente por debajo de la fundamental. En la figura 1 se muestra el espectrograma del tono del lobo -Fa2- en un violonchelo, a 174,5 Hz. Se puede observar claramente la fundamental dividida en dos picos de 170 y 179 Hz respectivamente. Básicamente, donde cada sistema tendría un pico de resonancia definido, el sistema acoplado tiene dos picos que percibimos como una frecuencia pulsante.

El tono del lobo puede también explicarse aplicando el concepto de impedancia en el puente. Efectivamente, en condiciones normales el puente provee una fuerte reflexión a las oscilaciones de las cuerdas, lo que permite construir una onda estacionaria estable. Sin embargo, a las resonancias del puente la impedancia alcanza el valor mínimo, mientras que la trasferencia de fuerza tiene el máximo valor. Por ello, cuando se produce esta interacción entre ambos sistemas oscilantes la impedancia del puente del instrumento se reduce de tal forma que la cuerda no puede mantener sus oscilaciones de forma estable ya que su energía se drena por el puente. Como la oscilación de las cuerdas se extingue, el cuerpo del instrumento tampoco recibe energía, lo que produce rápidamente el cese de su oscilación y la generación de un nuevo ciclo.

En una aproximación no lineal, un violonchelo podemos caracterizarlo como un sistema no lineal compuesto por dos osciladores, o dicho de otro modo, por un oscilador conductor y un resonador. En este caso, la fuerza imprimida al resonador depende de la amplitud de vibración del oscilador conductor. Ahora bien, a diferencia de la formulación lineal en este caso la fuerza del oscilador conductor depende de un elemento externo -el arco- que introduce dos variables, la velocidad del arco y la presión ejercida contra la cuerda, por lo que la aproximación lineal ya no es válida. Por consiguiente, dado que la fuerza imprimida al resonador por el oscilador conductor depende de estas variables, entonces podemos explicar también el fenómeno del lobo aplicando el modelo no lineal, en términos del mínimo de fuerza requerida del arco sobre la cuerda. En este sentido, para obtener un tono estable el músico debe seleccionar la velocidad del arco, el punto de contacto, la posición del arco y la fuerza con la que el arco presiona la cuerda. Para un valor determinado de la velocidad del arco y una posición dada, es necesario seleccionar la presión del arco dentro de un rango de valores que permitan establecer el movimiento Helmholtz, lo que dará lugar a un tono estable. El mínimo de fuerza del arco para proveer esa presión es requerido normalmente para cubrir las pérdidas de energía a través de las cuerdas y los soportes -clavijas y puente-. Cuantas más perdidas de energía, más alto es el límite de fuerza requerida por el arco. Una vez se establece el movimiento Helmholtz, la energía se almacena en el cuerpo antes de construir la vibración. Durante este tiempo, se produce un progresivo incremento de pérdidas de energía desde la cuerda y por consiguiente el límite del mínimo de fuerza del arco también se incrementa. Por su parte, la vibración del cuerpo cesa momentáneamente dado que toda su energía ha regresado a la cuerda produciendo una bajada del límite de la fuerza del arco. En estas condiciones, si este límite supera el mínimo de fuerza del arco que el músico está aplicando en ese momento, el movimiento Helmholtz degenera en un doble régimen de stick-slip, dividiendo la frecuencia fundamental de la cuerda en dos frecuencias, una por encima y otra por debajo de su frecuencia, dando lugar al tono del lobo.

Aunque el tono del lobo puede emerger en cualquier instrumento de cuerda frotada, el violonchelo es más proclive a sufrirlo por varias razones: por un lado, la diferencia de impedancias entre las cuerdas y el cuerpo que se da en este instrumento, y por otro, el diseño del puente del violonchelo, más alto que el del violín o la viola. A esto hay que añadir que el diseño del violonchelo no está escalado en relación al del violín. En el funcionamiento normal del instrumento la diferencia de impedancias de las cuerdas y el cuerpo permite que se mantengan estables las oscilaciones en la cuerda. En este sentido, a más diferencia de impedancias entre ambos sistemas, menor susceptibilidad a la generación del tono del lobo, ya que de esta forma se imposibilita en cierta manera el acople de los osciladores. Sin embargo, en el caso del violonchelo, la diferencia de impedancias entre los osciladores es menor dado que sus dimensiones no se han incrementado proporcionalmente en relación con las del violín. Nótese, por otro lado, que los factores de resonancia del cuerpo o de impedancia de las cuerdas son dependientes del tamaño del instrumento. En este sentido, para el diseño del instrumento debe considerarse lo que se conoce como ajuste dimensional en el que todos sus elementos siguen el mismo patrón dependiente del tamaño. En el caso del violonchelo este ajuste no es del todo practicable, y sus cuerdas son más pesadas comparadas con las realmente escaladas con el cuerpo. Dicho de otro modo, el violonchelo es un instrumento más pequeño que el instrumento perfectamente diseñado a escala, es decir, manteniendo las proporciones a escala del violín.

En cuanto a la segunda razón, el diseño del puente tiene también cierta influencia en el fenómeno del lobo. En el caso del puente del violonchelo, su diseño más alto permite una mayor oscilación en respuesta a las vibraciones de la tapa superior, lo que reduce ligeramente la impedancia que ofrece a las cuerdas. Además, el puente más alto del violonchelo contribuye a una respuesta más fuerte por parte del cuerpo a las excitaciones de las cuerdas en frecuencias cercanas a la frecuencia principal del cuerpo, dado que en esa gama de frecuencias funciona de forma a análoga a una palanca. Esta respuesta puede en ocasiones desviar la frecuencia del modo fundamental de la cuerda de tal forma que imposibilite el normal establecimiento del régimen de oscilación, dando lugar al tono del lobo.

Aunque el tono del lobo genera muchos problemas a los instrumentistas de arco dado que dificulta enormemente la ejecución de una nota, además del desagradable efecto que produce en el oyente, varios métodos han sido desarrollados a lo largo de varias décadas de experiencia para controlar o eliminar este imponderable. Uno de ellos consiste instalar en el instrumento un dispositivo, conocido como supresor del lobo, con el propósito de controlar o eliminar el fenómeno acústico. Otros métodos son aplicados por el propio instrumentista en el curso de la ejecución, con el objetivo de minimizar los efectos nocivos de este fenómeno. El objetivo principal de todos los supresores del lobo es absorber la energía de vibración de la frecuencia de resonancia donde se genera. El método más utilizado en este tipo consiste en instalar un dispositivo en el instrumento a modo de resonador con un alto coeficiente de amortiguamiento, que se conoce vulgarmente como matalobos o quitalobos. Actualmente los más usados consisten en una pequeña masa a modo de cilindro de metal forrado con caucho en su interior que funcionan como un oscilador afinado a la misma frecuencia de resonancia del cuerpo donde se genera el tono del lobo, siendo muy eficientes para amortiguar el sonido del modo de resonancia del lobo, pero sin afectar prácticamente a las otras resonancias. El dispositivo se fija en la cuerda donde el lobo es más susceptible, y se sitúa en el segmento de cuerda que corre entre el puente y el cordal. El músico debe seleccionar apropiadamente la posición correcta para que dispositivo funcione correctamente. En ocasiones, la gama de frecuencias afectadas es bastante amplia y el supresor puede ser afinado para proteger una nota u otra, en función de la susceptibilidad de cada nota. De esta forma, cuando se excita el modo de resonancia que genera el lobo, se fuerza a esta resonancia a vibrar únicamente en esta sección de la cuerda, y el dispositivo se encarga de amortiguar la energía excedente del cuerpo.

Otro tipo de supresor consiste en un elemento resonador independiente que se sitúa directamente en el parte superior de la tapa superior del instrumento, o bien en su interior, justo debajo de las efes. Este resonador se afina en un rango de frecuencias donde el lobo es más susceptible funcionando como eficiente amortiguador. El dispositivo modifica la frecuencia de la resonancia principal del cuerpo, lo que reduce la interacción entre las oscilaciones de la cuerda y el cuerpo.

El músico también puede reemplazar la cuerda más propensa a excitar el tono del lobo por una con un diámetro menor, modificando así las frecuencias de resonancia. De esta forma el músico también puede tocar notas de la frecuencia del lobo con diferentes digitaciones, reduciendo así la posibilidad de despertarlo.

El instrumentista puede tratar de domesticar al lobo incrementando la fuerza del arco, modificando el punto de contacto del arco, ejecutando el vibrato o presionando con sus rodillas el cuerpo del instrumento. Presionando más fuerte con el arco sobre la cuerda puede contribuir a minimizar los efectos del lobo, ya que de esta forma el mínimo de fuerza requerida por el arco no superará la actual fuerza del arco. Esta operación también excita los armónicos más altos de la cuerda, que cooperan para mantener el régimen del modo fundamental. El vibrato también puede reducir los efectos nocivos del lobo dado que ambos operan bajo principios acústicos análogos.

Fig 13

Fig. 2 Violonchelista controlando la posición del arco, la presión del arco, la velocidad del arco, presión y punto de contacto.

En conclusión, el fenómeno del lobo puede explicarse mediante una formulación lineal en términos de osciladores acoplados, pulsaciones e impedancia, o bien desde un punto de vista no lineal aplicando el concepto del mínimo de fuerza del arco requerida sobre la cuerda, lo que ha sido convenientemente justificado. Ya que el tono del lobo depende de las influencias mutuas de las oscilaciones de la cuerda y del cuerpo mediante el acoplamiento, la generación de este fenómeno depende de la relación entre las impedancias de las ondas de la cuerda y el cuerpo. En este sentido, la generación del tono del lobo es más susceptible en un violonchelo, y sobreviene como resultado de una disfunción acústica por las imperfecciones en el diseño del instrumento. Esto es debido a que el instrumento no está debidamente escalado y las proporciones de impedancias entre las cuerdas y el cuerpo no son las adecuadas cuando se produce el enganche entre la frecuencia fundamental de la cuerda y la frecuencia de resonancia principal de cuerpo. Por esta razón, cuando se excita la resonancia principal del cuerpo, y gracias el efecto palanca del puente que reduce su impedancia, se produce un fuerte acople entre los dos sistemas oscilantes que da lugar a la división de la frecuencia fundamental de la cuerda en dos frecuencias –la de la cuerda y la del cuerpo- que compiten por el control del diapasón.

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